面对交警队迟迟不出交通事故责任认定书的情况，当事人可以采取一系列措施来保障自己的合法权益。根据《道路交通事故处理程序规定》第四十七条，交警部门应在现场调查后十天内出具事故责任认定书。若因特殊情况需延长，如需检验、鉴定等，应在检验鉴定结果确定后的五天内完成。若交警队未能在规定时间内完成，当事人可以向上级交警部门进行投诉，要求尽快出具认定书。


在投诉过程中，建议当事人详细记录每次与交警部门沟通的日期、时间、沟通内容及对方答复，以便后续提供证据。同时，当事人可向当地交警部门的法制科或督察科寻求帮助，通过正式渠道进行投诉。如果当地交警部门未能及时处理，可进一步向当地公安局或交通管理局提出投诉，甚至向人民法院提起行政诉讼，寻求法律途径解决问题。


此外，当事人也可聘请专业的交通事故律师协助处理相关事宜。律师可以通过法律手段督促交警部门履行职责，并帮助当事人维护自身权益。在与律师合作过程中，当事人需提供所有相关证据材料，包括事故现场照片、车辆行驶证、驾驶证、行车记录仪视频等，以便律师全面了解案件情况，制定有效的应对策略。


总之，在交警队迟迟不出交通事故责任认定书的情况下，当事人应积极采取行动，通过投诉、寻求法律援助等途径保障自身权益。在处理过程中，务必保持冷静，理性沟通，确保所有证据材料完整、有效，以便在后续处理中占据有利地位。